Шпенглер Освальд - Закат Европы

ходимо для мышления", остальное - невозможно, ошибочно, бессмысленно или, как мы с высокомерием исторического склада мысли предпочитаем говорить, "примитивно". Современная математика, шедевр западноевропейского духа,- "истинная" только для этого духа - показалась бы Платону смешным и тягостным заблуждением на путях к истинной математике, античной конечно; и мы едва ли можем составить себе сколько-нибудь определенное представление о том, как много мы упустили в великих концепциях чуждых культур, потому что не могли ассимилировать их исходя из нашего духа и его границ, или, что то же самое, понимали их как ложное, лишнее и бессмысленное.

  

   Античная математика, как учение о наглядно представляемых величинах, хочет толковать исключительно фактическую наглядность, и она ограничивает, таким образом, свое исследование и область своей значимости предметностью близкого и малого. В противоположность этому ходу мыслей прикладной характер западной математики обнаруживается как нечто весьма нелогичное; это было ясно сознано лишь после открытия неэвклидовых геометрий. Числа - это чистые формы познающего духа. Их точная приложимость к реальной наглядности составляет ввиду этого особую проблему. Конгруэнтность математических систем с эмпирией меньше всего может считаться само собой разумеющейся. Вопреки предрассудку непосвященных, касающемуся непосредственной математической очевидности наглядного представления, как это встречается и у Шопенгауэра, геометрия Эвклида, которая имеет только поверхностное сходство с популярной геометрией всех времен, согласуется с наглядным представлением лишь приблизительно и в очень узких рамках ("на бумаге"). Простой факт учит, что параллельные, как это бывает при больших удалениях, сходятся на горизонте. Вся перспектива живописи построена на этом. Вопреки этому Кант исходил из наивного сравнения величин; он, совершенно непростительно для западноевропейского мыслителя, уклонился от "математики далей" и исходил, совершенно по-"античному", из крошечных фигур, при которых, именно из-за их малости, не могла выявиться специфически западная, пространственная сторона проблемы бесконечно малых. Эвклид тоже избегал обращаться для наглядной достоверности своих аксиом к треугольнику, вершинами которого служат место наблюдателя и две неподвижные звезды и который, следовательно, не может быть ни нарисован, ни наглядно представлен. Но он имел на это право, как античный мыслитель. Здесь сказалось то же чувство, которое боялось иррационального, не решалось понимать ничто как число, как нуль и в рассмотрении космических явлений уклонялось от неизмеримого, чтобы сохранить символ меры.

   Аристарх Самосский в 270 году дал систему мира, заново открытую Коперником; это второе открытие глубоко затронуло метафизические страсти Запада - вспомним Джордано Бруно,- оно было исполнением мощных предчувствий и утверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре своих соборов отдало должную дань идее бесконечного пространства. Но античный мир с совершенным безразличием принял мысли Аристарха Самосского и скоро - можно сказать, намеренно - его забыл. Для этой культуры система мира Аристарха душевно была пуста. Она могла бы стать даже опасной для ее основной идеи. И все же, в отличие от системы Коперника-на этот решающий факт никогда не обращали внимания,- при некотором особом понимании система Аристарха вполне подходила к античному мироощущению. Законченный космос Аристарх представлял себе в виде полого шара, вполне не ограниченного телесно, подчиненного взору, в середине которого находится аналогично Копернику понимаемая планетная система. Таким путем преодолевался принцип бесконечности, который мог бы подвергнуть опасности чувственно-античное понятие границы. Не возникает и мысли о безграничном мировом пространстве, хотя здесь она казалась бы неизбежной - ее концепция давно уже удалась вавилонскому мышлению. Наоборот: в своей замечательной работе о "числе песчинок", являющейся, как показывает и само слово, устранением всяких тенденций бесконечного, хотя в ней и видят первый шаг к интегральному счислению, Архимед доказывает, что это стереометрическое тело - а космос Аристарха не был ничем иным,- наполненное атомами (песчинками), приводит в результате счета к очень большому числу, а. не к бесконечности. Но это и значит решительно отрицать все то, в чем для нас смысл анализа. Как доказывают постоянно терпящие крушение и вновь навязывающиеся духу гипотезы материального, то есть воззрительно представляемого, мирового эфира, вселенная нашей физики есть строжайший отказ от всякой материальной ограниченности. Платон, Аполлоний и Архимед, несомненно самые тонкие и смелые математики античного мира, с большим совершенством провели на основе пластически-античного понятия предела чисто оптический анализ ставшего. Они пользовались глубоко продуманными и нам мало доступными методами некоторого интегрального счисления, имеющего только кажущееся сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и они применяли геометрические места и координаты, которые были только именованными числами мер и отрезками, а не как у Ферма и особенно у Декарта - отвлеченными пространственными отношениями, значениями точек в отношении к их положению в пространстве. Сюда прежде всего относится метод исчерпывания Архимеда в его открытом недавно письме к Эратосфену, где он основывает, например, квадратуру сегмента параболы на вычислении вписанных прямоугольников (уже не подобных многоугольников). Но именно тот остроумный, бесконечно сложный способ, которым он, опираясь на известные геометрические идеи Платона, приходит к определенному результату, делает едва заметным огромную противоположность между этой интуицией и лишь внешне сходной с ней интуицией Паскаля. Нет более резкой противоположности - если совершенно отвлечься от римановского понятия интеграла,- чем квадратуры Архимеда и то, что, к сожалению, до сих пор называется "квадратурами", при которых "плоскость" рассматривается как ограниченная некоторой функцией и о какой бы то ни было наглядности нет и речи. Нигде обе математики так близко не подходят друг к другу, и нигде так не чувствуется непроходимая пропасть между двумя душами, выражением которых они являются.

   Чистые числа, феномен которых египтяне из глубокого страха перед их изначалом как бы скрывали в стиле своих храмов, пирамид и рядов статуй, были и для эллинов ключом к смыслу ставшего, застывшего и, следовательно, преходящего. Математическое число как формальный основой принцип протяженного мира существует только у бодрствующего человеческого сознания и для него; посредством причинной необходимости оно стоит в том же отношении к смерти, в каком хронологическое число - к становлению, к жизни, к необходимости судьбы. Эта связь математической формы с концом органического бытия, с явлением его неорганического остатка, трупа, будет все яснее вырисовываться как источник всякого великого искусства. Мы уже отметили развитие ранней арифметики из погребального культа. Числа - символы преходящего. Застывшие формы отрицают жизнь. Формулы и законы распространяют оцепенение по лику природы. Числа убивают. Это Матери Фауста, величаво царящие в одиночестве:

  

   Образованье, преобразованье

   И вечной мысли вечное дрожанье,

   Вкруг образы всех тварей, словно дым.

   ("Фауст", ч. 2. Перев. А. Фета)

  

   Здесь соприкасаются Гете и Платон в предчувствии последней тайны. Матери, недоступность - идеи Платона - рисуют возможности душевности, ее нерожденные формы; они осуществились в видимом, с внутренней необходимостью упорядоченном мире, возникшем из идеи этой душевности в форме деятельной и созданной культуры как искусства, мысли, государства, религии. На этом покоится родство числовой системы определенной культуры с ее мировой идеей, и это отношение возвышает числовую систему над голым знанием и познанием до значения миросозерцания и приводит к тому, что существует столько математик-миров чисел,- сколько высших культур. Тогда только становится понятным и необходимым то явление, что величайшим математическим мыслителям, творческим художникам в царстве чисел, в глубоко религиозной интуиции удалось найти решение математических проблем соответствующих культур. Так надо представлять себе создание античного аполлоновского числа Пифагором, основателем религии. Это изначальное чувство руководило Николаем Кузанским, знаменитым епископом Брикским, когда он в 1450 году, исходя из рассмотрения бесконечности Бога в природе, открыл основные черты счисления бесконечно малых. Лейбниц развил эту идею двумя столетиями спустя,- он создал analysis situs также из чисто метафизического рассмотрения принципа Божества и его отношения к бесконечной протяженности; analysis situs - гениальнейшая интерпретация чистого, от всего чувственно освобожденного пространства; богатые возможности этой интерпретации были развернуты только в XIX столетии Грассманом в его учении о протяженности и Риманом в его символике двусторонних плоскостей, которые представляют природу уравнений. Декарт, глубокий христианин в духе Пор-Рояля, следуя внутреннему влечению в связи с философски-математическим обучением, обратил вновь в католичество пфальцграфиню Елизавету и дочь Густава Адольфа, королеву Христину Шведскую. И Кеплер и Ньютон, оба строго религиозные натуры, всегда были, как Платон, убеждены, что можно интуитивно постичь сущность божественного мирового порядка именно посредством чисел.

  

   Только Диофант, как обычно утверждают, освободил античную арифметику из ее чувственного плена, расширил и развил и создал алгебру как учение о неопределенных величинах. Но это, конечно, не обогащение, а полное преодоление античного мироощущения; Диофант, следовательно, внутренне не принадлежит уже греческой культуре. В нем проявляется новое чувство числа или, мы сказали бы, чувство границы, в противоположность всему действительному, ставшему; это уже не эллинское чувство числа, из осязательно данной предельности которого развилась рядом с Эвклидовой геометрией чувственных тел также и подражающая ей пластика обнаженной статуи. Мы не знаем подробностей создания этой новой математики. Под видом желания следовать Эвклидовым путям мысли у Диофанта всплывает то новое чувство границы - я называю его магическим,- которое совершенно не сознает своей противоположности античному взгляду. Идея числа как величины не расширена, а незаметно уничтожена. Что такое неопределенное число а или отвлеченное число 3 (то и другое не величина, не мера, не отрезок) - этого грек совершенно не мог представить. В основе диофантовского исследования лежит, во всяком случае, новое чувство границы, воплощенное в этих типах чисел; даже привычное для нас буквенное счисление, в форме которого является теперешняя алгебра, между прочим вновь совершенно переделанная, было введено Вьета только в 1591 году; здесь сказалась яркая, сознательная оппозиция к эллинизированному счислению эпохи Возрождения.

   Диофант жил в 250 году до Р. X., то есть в третьем столетии арабской культуры, исторический организм которой в то время был погребен под внешними формами Рима времен императоров и "средневековья"; ей принадлежит все, что с начала нашего летосчисления возникло на территории рождающегося ислама. Тогда же угасла последняя тень античной пластики статуй перед лицом нового чувства пространства, проявленного в базиликах, в мозаике и в рельефах саркофага раннего христианско-сирийского стиля. Тогда снова появилось архаическое искусство и строго геометрический орнамент. Тогда именно Диоклетиан создал халифат на месте ставшего уже призрачным римского государства. Пятьсот лет лежит между Эвклидом и Диофантом, между Платоном и Плотином, последним замыкающим мыслителем (Кантом) заканчивающейся культуры и первым мистическим духом (Данте) культуры едва пробуждающейся.

   Здесь затрагиваем мы впервые незнакомый еще нам феномен тех великих индивидуальностей, чье становление, рост и увядание под пестрой обманчивой оболочкой скрывает настоящую субстанцию всемирной истории.

   Витающая в римском духе античная душевность, "телом" которой является историческая действительность античной культуры, с ее творениями, мыслями, делами и развалинами, была порождена в 1100 году до Р. X. страной эгейского моря. Зарождающаяся во время Августа под покровом античной цивилизации арабская культура ведет свое происхождение из области между Нилом и Евфратом, Каиром и Багдадом. Как выражение этой новой души, надо рассматривать почти все "позднеантичное" искусство времен императоров, все вообще исполненные молодого пыла культы Востока, культ Митры, Сераписа, Гора, Исиды, сирийских Ваалов из Эмесы и Пальмиры, христианство и неоплатонизм, императорский форум в Риме и выстроенный сирийцем Пантеон, самая ранняя из мечетей.

   Что тогда по-гречески писали и как будто по-гречески мыслили, имеет не больше значения, чем тот факт, что наука Запада включительно до Канта предпочитала латинский язык или что Карл Великий "восстановил" римское государство.

   У Диофанта число не является больше мерой и сущностью пластических вещей. На равеннских мозаиках человек уже не тело. Греческие обозначения незаметно потеряли свое изначальное содержание. Мы выходим из сферы аттической "калокагатии", стоической "атараксии" и "галэны". Правда, Диофант еще не знает нуля и отрицательных чисел, но он уже не знает пластических единиц пифагорейских чисел. С другой стороны, неопределенность отвлеченных арабских чисел является чем-то совершенно иным, чем закономерная изменчивость позднейшего западноевропейского числа, функции.

   После Диофанта, который до себя уже предполагает известное развитие, магическая математика, алгебра, хотя нам неизвестны подробности, развивалась логически и в главных чертах - до завершения, в эпоху Аббасидов IX столетия, как показывает уровень знания у Альхварижди и Альсиджи. Тогда лишь начинается, снова спустя полтысячелетия, в новой, отдаленной стране великий процесс перетолкования этого магического, переданного нам испанскими арабами мира чисел в функциональный мир Западной Европы; начинается могучая борьба против внедряющегося чуждого мироощущения, с его внутренне законченным истолкованием пространства, которое должна была отразить и сломить юная готическая душа, чтоб не дать погибнуть своей собственной сущности; отсюда- скрытая борьба во всех произведениях архитектуры, каждом фасаде, каждом орнаменте, каждом символе, в каждой метафизической и математической проблеме; глухое величие этой борьбы никогда еще не было почувствовано.

   Чем была Эвклидова геометрия в отношении к античной пластике - тот же язык форм, но в другом одеянии,- чем был анализ пространства в отношении к стилю фуги инструментальной музыки, тем же была эта алгебра в отношении к магическому искусству мозаики, к все богаче развивающимся арабескам начиная с эпохи Сасанидов и позднее Византии, с их чувственно-нечувственным претворением органического мотива форм горельефа Константиновского стиля, с его свободно выполненными фигурами на фоне глубокого сумрака заднего плана. Как алгебра относится к античной арифметике и западноевропейскому анализу, так же относится увенчанная куполом базилика к дорическому храму и готическому собору.

   Нельзя сказать, чтобы Диофант был великим математиком. Самое важное, что связано с его именем, не написано в его работах, а то, что в них написано, вероятно, не вполне оригинально. Его случайное значение состоит в том, что-насколько мы знаем - он был первым, несомненно обладавшим новым чувством числа. В противоположность великим мыслителям, замыкающим известную математику, как Аполлоний и Архимед - античную и соответственно им Гаусс, Коши и Риман-западноевропейскую, мы встречаемся у Диофанта и Менелая с чем-то примитивным, что до сих пор охотно называлось декадансом. В будущем научатся понимать и оценивать этот декаданс в духе той переоценки, которую следует сделать в отношении к так называемому позднеантичному искусству, рассматривая его как ощупью идущее проявление только что пробуждающегося раннеарабского мироощущения. Впечатление такой же примитивной, архаичной и полной искания науки производит математика Николая Орема, епископа в Лизье (1323-1382), впервые применившего некоторое подобие координат и даже дробные показатели степеней, а это предполагает, еще неясно, но уже несомненно, такое чувство числа, которое оказывается совершенно неантичным, но в то же время и не арабским. Если рядом с Диофантом вспомнить о раннехристианском саркофаге римских коллекций и, рядом с Оремом, о готических одетых статуях немецкого собора, то можно заметить что-то родственное и в ходе математической мысли, представляющей у обоих математиков одну и ту же раннюю ступень интеллекта. Совершенно утратилось стереометрическое чувство границы в его последней утонченности и элегантности. Все было настроено глухо, томительно, мистично, а не аттически светло и свободно. В центре стоял из земли рожденный, первобытный человек, а не человек великих городов, подобно Эвклиду и Да-ламберу². Уже не понимались больше глубокие и сложные образы античного мышления, их заменили спутанные, новые, ясное интеллектуально-городское рассмотрение которых еще не было найдено. Это - готическое состояние всех молодых культур; оно было пройдено и античным миром в его раннедорическое время, от которого ничего не осталось, кроме погребальных урн дипилонского стиля. Только в Багдаде, в IX и X веках, концепции эпохи Диофанта были проведены и закончены зрелыми умами, не уступавшими Платону и Гауссу.

  

   Решающее значение Декарта, геометрия которого появляется в 1637 году, состоит вовсе не в введении новой методы или наглядности в область традиционной геометрии, как это постоянно высказывается, но в окончательной новой числовой концепции, новой идее числа, которая выразилась в полном освобождении геометрии от наглядной осязательной конструкции, от измеренных и измеримых отрезков. Этим самым анализ бесконечно малых стал фактом. Застывшая так называемая картезианская система координат - идеальный представитель измеримых величин в полуэвклидовском смысле,- которая в предшествующий период, у Орема например, приобрела уже некоторое значение, была Декартом не завершена, но преодолена, если проникнуть в глубину его рассмотрений. Современник Декарта, Ферма, был ее последним классическим представителем.

   На место чувственного элемента конкретного отрезка и плоскости - специфического выражения античного чувства границы - стал абстрактно-пространственный, не античный элемент точки, который с тех пор характеризуется как группа соподчиненных чистых чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственного измерения и заменил его переменным значением отношений положения в пространстве. Что это было устранением геометрии вообще, которая с тех пор, в числовом мире анализа, стала влачить жалкое существование, подернутое дымкой античных воспоминаний,- это совершенно упустили из виду. Слово "геометрия" имеет неустранимый аполлоновский смысл. Начиная с Декарта мнимо "новая геометрия" оказывается или синтетическим процессом, который определяет посредством чисел положения точек уже не только в трехмерном пространстве ("точечные множества"), или аналитическим, который определяет числа посредством положения точек. Заменить отрезки положениями - значит рассматривать понятие протяжения чисто пространственно, а не телесно.

   Классическим примером этого разрушения унаследованной геометрии наглядного и конечного представляется мне обращение угловых (тригонометрических) функций - они были в едва доступном для нас смысле числами индийской математики - в функции циклометрические (круговые) и дальнейшее их разложение в ряды, которые в бесконечном царстве чисел алгебраического анализа утратили всякое воспоминание о геометрических образованиях эвклидовского стиля. Число я и основание натуральных логарифмов число е, всюду всплывая в этой области чисел, порождают отношения, которые стирают все границы прежней геометрии, тригонометрии, алгебры, которые не имеют ни геометрической, ни арифметической природы, ибо здесь никто уже не думает о действительно нарисованных кругах или вычисляемых степенях.

  

   В то время как античная душа благодаря Пифагору в 540 году приходит к концепции своего собственного аполлоновского числа, душа Запада в точно соответственное время нашла благодаря Декарту и его поколению (Паскаль, Ферма, Дезарг) идею числа, которая родилась из фаустовской страсти к бесконечному. Число как чистая величина, которое приурочено к предметной действительности отдельных вещей, находит свою противоположность в числе как чистом отношении. Если античный мир, космос, определяется глубокой потребностью в видимой ограниченности как исчислимой суммы материальных вещей, то наше мироощущение воплощается в картине бесконечного мира, в котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное в противоположность безусловному, как действительность второго сорта. Его символом является основное понятие функции, никакой другой культуре неизвестное. Функция - это ни в каком случае не расширение какого-нибудь прежнего понятия числа; она его полное преодоление. Не только Эвклидова, то есть общечеловеческая, популярная геометрия, но и архимедовская область элементарного счисления, арифметика, перестает существовать в математике, действительно важной для Западной Европы; здесь может иметь место только абстрактный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были науками огромного значения; они обе наглядны, обе в счете или чертеже оперируют с величинами; для нас они только практические средства обыденной жизни. Сложение и умножение, оба античных метода счисления величин, совершенно исчезают в бесконечности функционального процесса. Степень, которая сначала является только числовым знаком определенной группы умножения (для множителей одной и той же величины), совершенно освобождается от понятия величины посредством нового символа показателя (логарифма) и его применения к комплексным, отрицательным, дробным формам и переводится в трансцендентный мир отношений, который был бы совершенно чужд грекам, знавшим только две положительные целые степени, представляющие площади и тела (следует вспомнить о выражениях, подобных
).

   Каждое из глубоких творений, которые со времен Возрождения быстро следуют одно за другим, как: мнимые и комплексные числа, которые введены Карданом еще в 1550 году; бесконечные ряды, теоретически обоснованные Ньютоном после его великого открытия бинома в 1666 году; логарифмы в 1610 году; дифференциальная геометрия; определенный интеграл Лейбница; множество как новое числовое единство, уже намеченное Декартом; новые действия, как то: неопределенные интегралы, разложение функций в ряды и даже бесконечные ряды других функций,- каждое из этих открытий является также победой над популярно-наглядным чувством числа, которое должно было быть преодолено духом новой математики, осуществлявшей новое мироощущение. Не было другой культуры, которая наследию старой, давно угасшей культуры воздавала бы столько почестей и допускала бы с ее стороны столько влияния, сколько западноевропейская по отношению к культуре античной. Много прошло времени, прежде чем мы нашли в себе мужество думать свои думы. В основе лежало постоянное желание подражать античному. Тем не менее всякий шаг вперед был фактическим удалением от поставленного идеала. Поэтому история западноевропейского знания - это растущая эмансипация от чуждого, история освобождения, которого вовсе не хотели, но которое вынуждалось глубинами бессознательного. Так развитие новой математики принимает вид скрытой, долгой, наконец, победоносной войны против понятия величины.

  

   Античные предрассудки помешали нам отметить новое в западноевропейском числе как таковом. Современный символический язык математики искажает сущность дела, и прежде всего ему следует приписать, что еще и поныне математиками разделяется взгляд, будто числа суть величины,- на этой предпосылке, во всяком случае, покоится наша письменная система обозначения.

   Новое число - это не отдельные знаки (x, π, 5), применяемые для выражения функции, но сама функция как единство, как элемент, изменчивое, в наглядные границы более не вмещаемое отношение. Для него была бы нужна новая символика, по самой своей структуре свободная от античных воззрений.

   Необходимо уяснить себе разницу двух уравнений - даже само слово "уравнение" не следовало бы применять к таким совершенно разным вещам, например 3^x 4^x = 5^х и xⁿ yⁿ = zⁿ (уравнение Ферма). Первое состоит из многих "античных чисел" (величин), второе есть одно число совершенно другого рода; это маскируется одинаковым способом написания, символика которого развилась под влиянием эвклидо-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства есть установка неизменной связи определенных, осязаемых величин; во втором знак равенства представляет некоторое отношение, существующее внутри группы переменных образований, такого рода, что определенные изменения необходимо влекут за собой известные другие. Первое равенство имеет целью установку (измерение) конкретной величины, "результата",- второе вообще не имеет никакого результата, но является отображением и знаком отношения, которое для n > 2 - это и есть знаменитая проблема Ферма - исключает целые значения, что, вероятно, доказуемо. Греческие математики не могли бы понять, чего, собственно, хотят от этого рода операций, конечной целью которых не является "вычисление".

   Понятие неизвестных вводит в полное заблуждение, если его применять к буквам уравнения Ферма. В первом, "античном" уравнении, х есть величина определенная и измеримая, которую остается только найти. Во втором - для х, у, z, n - слово "определить" не имеет никакого смысла; следовательно, "значения" этих символов вовсе не собираются искать; следовательно, они вообще не числа в пластическом смысле, но знаки для зависимости, у которых отсутствуют признаки величины, образа и однозначности, знаки для бесконечности возможных положений одинакового характера; они являются числом, только постигнутые как единство. В уравнении применяется много вводящих в заблуждение знаков. Но не х, у, z, как и не и не =, не являются числами. Фактически все уравнение в целом есть одно-единственное число.

   Ибо уже с понятием иррационального, вполне антиэллинского числа распалось в своей глубочайшей основе понятие конкретного, определенного числа. Теперь уже эти числа перестают быть обозримым рядом возрастающих, дискретных, пластических величин, но образуют одномерный континуум, в котором всякий разрез (в смысле Дедекинда) представляет "число", и ему не следовало бы иметь старого обозначения. Для античного духа возможно только одно число между 1 и 3; для западноевропейского - бесконечное множество. Наконец, с введением мнимых (
) и комплексных чисел (общей формы a bi), которые расширяют линейный континуум в высокотрансцендентную конструкцию числового корпуса (совокупности множества однородных элементов), где каждое сечение представляет числовую плоскость,- бесконечное множество более ограниченных "мощностей", например совокупность всех реальных чисел,- все это разрушает последний остаток антично-популярной осязаемости числа. Эти числовые плоскости, которые со времени Коши и Гаусса играют важную роль в теории функций, суть чистые построения мысли. Положительное иррациональное число, например
, могло бы еще быть создано из античного понимания числа, хотя бы и отрицательного, причем как число оно исключалось бы - как "arrētos" и "alogos", но выражения формы x yi лежат уже по ту сторону всех возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплексного, внутри которой они всегда остаются применимыми, покоится теория функций; она дается, наконец, во всей чистоте только западноевропейской математикой, причем охватывает, растворяет в себе все частные области. Только таким путем эта математика становится вполне приложимой к одновременно с ней развивающейся динамической физике Запада, тогда как античная математика оказывается точным коррелятом того мира пластических единичных вещей, картину которого дает статическая физика Аристотеля, точная научная интерпретация античного космоса.

   Классическим столетием этой математики барокко - в противоположность математике ионического стиля - был XVIII век: решающее открытие Ньютона и Лейбница ведет через Эйлера, Лагранжа, Лапласа, Даламбера к Iayccy. Развертывание этого могущественного духовного творчества свершилось как чудо. Едва осмеливались верить тому, что видели. Открывались истины за истинами, которые казались бы невозможными утонченным умам скептически настроенного века. К этому веку расцвета относится изречение Даламбера: "Allez en avant et la loi vous viendra" {Двигайтесь вперед, и вы постигнете закономерность (франц.).}. Дело шло о теории производных. Сама логика, казалось, протестовала против того, чтобы все допущения основывать на ошибках, но цель все же была достигнута.

   Это было столетие высокого упоения в проникновенных, недоступных чувственному глазу формах - ибо рядом с творцами анализа стоят Бах, Глюк, Гайдн, Моцарт,- когда небольшой круг избранных и глубоких умов предавался роскоши тончайших открытий и игры форм, от которой Гете и Кант стояли в стороне; это столетие по содержанию точно отвечает наиболее зрелому веку ионики, веку Платона, Архита и Евдокса (450-350),- а также, скажем опять, Фидия, Поликлета, Алкамена и строителей Акрополя,- веку, в котором мир форм античной математики и пластики до конца расцвел во всей полноте своих возможностей.

   Теперь только можно окинуть взором противопоставление античной и западной души в их элементах. Нет ничего более внутренне чуждого в пределах всей картины истории человечества на высшей ступени его развития. И именно потому, что противоположности сходятся, что они указывают на нечто, может быть, общее в последней глубине существования,- мы встречаем в западноевропейской, фаустовской душе тревожное искание идеала аполлоновской; только эту душу постигла она среди всех других и завидовала ее преданности чувственно-чистой действительности.

   Эту душевную противоположность, не укладывающуюся даже в рамки слов, осуществляют во внешнем мире ставшего, ограниченного, преходящего исторические единства античной и западноевропейской культур, из которых одна начала цвести в позднемикенское время, другая-ко времени саксонских королей, и обе закончили свое развитие Аристотелем и Кантом, Платоном и Гете, Фидием и Бетховеном, Александром и Наполеоном.

   Теперь только чувствуется все значение символики, нашедшей в мире чисел обоих математик свое, может быть, непосредственнейшее выражение, но область которой выходит далеко за пределы математики. Оказывается, что математика говорит одним языком со всеми сопровождающими ее искусствами, со всеми вообще творениями деятельной жизни,- языком форм, в котором последние возможности душевного и открываются и укрываются. С математикой теснейшим образом связана мистическая архитектура ранних эпох- дорическая, готическая, раннехристианская и египетская Древнего царства. Здесь, в египетской культуре, обе формы никогда не разделялись. Архитектура великих пирамид - это молчащая математика; но и античная душа никогда резко не разграничивала скульптурной и геометрической символики. Анализ также есть архитектура величайшего стиля, и мы донимаем теперь, почему две системы чисел, из которых одна так же пылко утверждает наличность наглядного предела, как другая ее отрицает, должны были существовать рядом с ионической пластикой и немецкой музыкой как родственные искусства, самое чувственное и самое нечувственное из всех возможностей художественной силы воплощения.

  

   Было замечено, что в определенный момент жизни первобытного человека и ребенка у них появляется некоторое внутреннее переживание, рождение "Я", и с этого момента им становится доступным феномен числа, а следовательно, и отнесенный к "Я" окружающий мир.

   Из хаоса впечатлений перед изумленным взором первобытного человека выступают огромные очертания проясняющегося мира упорядоченной протяженности, мира "ставшего", полного значений. Когда глубоко воспринятое неустранимое противоположение этого внешнего мира собственной душе дает осознанной жизни направление и облик, тогда одновременно с рождением всех вообще возможностей новой культуры в душе, внезапно постигшей свое одиночество, пробуждается изначальное чувство искания. Это - искание цели становления, искание законченности и осуществленности всех внутренних возможностей, раскрытия идеи собственного существования. Это искание ребенка, которое все яснее выступает в сознании как чувство неудержимой направленности и как загадка времени стоит перед зрелым духом - жуткая, манящая, неразрешимая. Слова "прошлое" и "будущее" получают вдруг смысл неумолимой судьбы.

   Но это искание, идущее от полноты и блаженства внутреннего становления, есть вместе и страх, таящийся в темных глубинах каждой души. Как всякое становление направляется к тому, чтобы стать,- этим оно и кончается,- так изначальное чувство становления, искание, соприкасается с другим чувством, чувством завершенности, страхом. В настоящем (in der Gegenwart) чувствуется текучесть, в прошедшем - бренность. В этом корень вечного страха перед непоправимым, достигнутым, оконченным; перед преходящим, перед самим миром как осуществленным, в котором вместе с рубежом рождения положен и рубеж смерти,- страха перед мгновением, когда осуществляется возможное, когда жизнь внутренне наполняется и заканчивается, когда сознание стоит у цели. Это тот глубокий страх мира, который испытывает детская душа; который никогда не покидает зрелого человека, верующего, поэта, художника в его безграничном одиночестве,- страх перед чуждыми силами, огромными и грозным", окутанными в чувственные явления, вторгающимися в проясняющийся мир. Также и направленность всего становления, в ее неумолимости-необратимости,- воспринимается с глубокой внутренней достоверностью, как чуждый элемент. Есть что-то чуждое в том, что превращает будущее в прошедшее; это придает времени, в противоположность пространству, то противоречивое, жуткое и гнетущее двусмысленное, от чего не может вполне защититься ни один чуткий человек.

   Страх мира есть, несомненно, самое творческое среди изначальных чувств. Ему обязан человек наиболее зрелыми и глубокими формами и образами не только опознанной внутренней жизни, но и ее отражением в бесчисленных созданиях внешней культуры. Подобно тайной мелодии, не всем доступной, страх проникает язык форм всякого истинного произведения искусства, всякой глубокой философии, всякого высокого подвига, и он, заметный очень немногим, лежит в основе великих проблем каждой математики. Только внутренне умерший человек больших городов позднего времени, птолемеевской Александрии или современного Парижа и Берлина; только насквозь рассудочный софист, сенсуалист и дарвинист теряет этот страх или отрекается от него, причем между собой и чуждым он ставит разрешившее все тайны "научное миросозерцание".

   Если искание направляется к тому неосязаемому нечто, тысячи неуловимых, изменчивых, как Протей, образований которого скорее прикрываются, чем обозначаются словом "время", то изначальное чувство страха находит свое выражение в проникновенных, осязаемых, образных символах протяженности. Так, в бодрствующем сознании каждой культуры, в каждом по-своему, заключены противоположные формы времени и пространства, направленности и протяжения; первое лежит в основе второго, как становление в основе ставшего, ибо и искание лежит в основе страха; оно становится страхом, не наоборот; первое лишено духовного могущества, второе ему служит, первое только переживается, второе только познается. "Бояться и любить Бога" - христианское выражение для чувства противоположности обоих мироощущений.

   Из души всего первобытного человечества, а следовательно и раннего детства, возникает побуждение заклинать, понуждать, смирять - "познавать" - элемент чуждых сил, которые неумолимо присутствуют во всем протяженном, в пространстве и через пространство. В конечном счете это одно и то же. Познать Бога в мистике ранних эпох - значит его заклинать, расположить к себе, внутренне себе приобщить. Это совершается посредством слова, "имени", именуя которым numen, его призывают, или посредством форм культа, которым свойственна тайная сила. Идеи немецкой, как и восточной, мистики, возникновение всех античных богов, все культы - не допускают в этом отношении никакого сомнения. Действительное познание есть духовный охват чуждого. Этот оборонительный акт - первое творческое деяние всякой пробужденной душевности. С него, собственно, начинается более высокая внутренняя жизнь культуры или отдельного человека. Познание, полагаете границы посредством понятий и чисел - самая тонкая, но и самая могущественная форма этой обороны. А поэтому человек только посредством языка становится вполне человеком. Познание с непреложной необходимостью превращает хаос изначальных окружающих впечатлений в космос, совокупность душевных выражений, "мир в себе" - в "мир для нас"³. Оно заглушает страх мира, укрощая чуждое, таинственное, придавая ему вид осязаемой упорядоченной действительности, сковывая его прочными правилами особого, чеканного, интеллектуального языка форм.

   В этом идея "табу", играющего исключительную роль в душевной жизни всех первобытных народов, но по своему первоначальному содержанию так нам далекого, что это слово не переводимо более ни на один зрелый, культурный язык. В основе его лежит изначальное чувство, возникающее до всякого познания и понимания мира, до всякого ясного, душу и мир различающего сознания; в теперешнюю эпоху больших городов оно доступно только детям да немногим художественным натурам. Безысходный страх, священный ужас, покинутость, тоска, ненависть, неясное стремление к сближению, слиянию, отдалению - все эти оформляющие чувства зрелой души в той ранней стадии развития сливаются в смутной неразличимости. Двойной смысл слова "заклинать", которое в одно и то же время значит и "принуждать" и "умолять", может уяснить значение того мистического акта, которым древний человек чуждое и страшное делает "табу". Благоговейный страх перед всем от него независимым, положенным, предуказанным, перед чуждыми силами природы есть изначало всех элементарных форм. В древнейшие времена "табу" осуществляется в иератических орнаментах, в томительных церемониях, в строгих установлениях примитивных нравов и необыкновенных культов. В великих культурах эти образования, не потеряв внутренних признаков своего происхождения, характера колдовства и заклинания, вырастают в совершенный мир форм отдельных искусств, религиозного, логического, математического мышления, экономического, политического, социального, индивидуального существования. Общее всем им средство, единственное, которое знает осуществляющая себя душа, есть символизация протяженного, пространства или вещей,- будь это концепции абсолютного мирового пространства физики Ньютона, внутренний простор готического собора и мавританской мечети, бесконечное обилие воздуха в картинах Рембрандта и мрачный мир звуков бетховенского квартета; будь это правильные многогранники Эвклида, скульптура Парфенона или пирамиды Древнего Египта; нирвана Будды, придворный этикет времен Сезостриса, Юстиниана I и Людовика XIV; будь это, наконец, идея Бога Гомера, Плотина, Данте или побеждающая пространства всего земного шара энергия современной техники.

  

   Но вернемся к математике. Исходной точкой всего античного оформления был, как мы видим, порядок ставшего, поскольку оно проявляется в чувственном, наличном, осязаемом, измеримом, поддающемся счету. Западноевропейское, готическое чувство формы одинокой, витающей в далях души избрало средством своего выражения чистое, невоззрительное, безграничное пространство. Не следует обманываться узким пониманием таких символов, которые мы охотно принимаем за тождественные, общезначимые. Наше бесконечное мировое пространство, о существовании которого, казалось бы, нечего распространяться, для античного человека вовсе не существовало. Для него оно даже непредставимо. С другой стороны, эллинский космос, глубокая чуждость которого нашему миросозерцанию не должна была бы так долго оставаться незамеченной, казался эллину чем-то само собою разумеющимся. В действительности абсолютное пространство нашей физики оказывается формой, возникшей только из нашей душевности, как ее отображение и выражение, и только для нашего бодрствующего существования оно действительно, необходимо и естественно. Вся математика начиная с Декарта служит теоретической интерпретацией этого великого символа, исполненного религиозным содержанием. Со времени Галилея физика ничего другого не хочет. Античная математика и физика не знают вообще этого объекта.

   И здесь также сущность дела затуманена античными названиями, которые мы удержали из литературного наследия греков. Геометрией называется искусство измерения, арифметикой - искусство счета. Математике Запада нечего больше делать с этими обоими видами ограничения, но она не придумала себе нового названия. Слово "анализ" выражает далеко не все.

   Свои исследования античный математик и начинает и кончает единичным телом и ограничивающей его поверхностью. Мы знаем, в сущности, только абстрактный пространственный элемент точки; лишенный наглядности, возможности измерения и наименования, он представляет собою, собственно, только центр отношения. Прямая для грека есть измеримая граница, для нас - неограниченный точечный континуум. Лейбниц приводит в качестве примера для принципа бесконечно малых прямую, которую можно рассматривать как предельный случай круга с бесконечно большим радиусом; точка же оказывается опять-таки предельным случаем. Для духа античного человека квадратура круга была классической предельной проблемой. Вот что казалось греческому духу самой глубокой тайной мировой формы: превратить криволинейно ограниченные плоскости в прямоугольные и, не меняя их величины, сделать их таким образом измеримыми. Для нас стало очень простым делом - изобразить число л алгебраическими средствами, не поднимая при этом и речи о геометрических образах.

   Античный математик знает только то, что он видит я осязает. Где кончается ограниченная, ограничивающая видимость - сфера его полета мысли,- там находит конец и его наука. Западноевропейский математик, как только он, освобожденный от античных предрассудков, становится самим собой, углубляется в совершенно абстрактную область бесконечного числового множества, не трех, а n измерений, внутри которого его так называемая геометрия может и часто должна обойтись без всякой помощи наглядного. Если античный человек обращается к художественному выражению своего чувства формы, то он стремится придать человеческому телу в танце и состязании, в мраморе и бронзе такое положение, в котором плоскости и контуры имели бы максимум соразмерности и выразительности. Настоящий художник Запада закрывает глаза и теряется в области бестелесной музыки, где гармония и полифония ведут к творениям величайшей "потусторонности", выходящим за пределы всех возможностей оптической определенности. Стоит только представить себе, что понимают под фигурой афинский скульптор и северный контрапунктист, и тогда станет совершенно ясной противоположность этих двух миров, двух математик. Греческая математика пользуется словом "sфma" для обозначения тела. С другой стороны, правовой язык применяет то же слово к личности в противоположность вещи ("sцmata cai pragmata"; personae et res).

   Феномен античного, целого, телесного числа невольно поэтому ищет отношения к телесному началу человека, к "sфma". Единица едва ли принималась как настоящее число. Она - "архе", изначальная основа числового ряда, изначало всех чисел и, следовательно, всех величин, всех мер, всякой вещественности. Ее числовой знак в кругу пифагорейцев всегда был символом материнского лона, изначала всей жизни. Двойка, первое настоящее число, которое удваивает единицу, была связана с принципом мужского начала, и ее знаком стало изображение фаллоса. Наконец, священная троица символизировала акт соединения мужчины и женщины, зачатия - и вполне понятен эротический смысл двух особенно важных для античности процессов - роста величины и порождения величины, сложения и умножения; знаком тройки было соединение двух первых чисел. Отсюда проливается новый свет на упомянутый выше миф о дерзости раскрытия иррационального. Иррациональное, выражаемое нами применением бесконечных десятичных дробей, есть разрушение органически-телесного, созидательного порядка, который был установлен богами. Нет сомнения, что пифагорейская реформа античной религии восстановила древний культ Деметры. Деметра родственна Гее, матери-земле. Есть глубокая зависимость между ее почитанием и этим возвышенным пониманием числа.

   Так античный мир с внутренней необходимостью стал постепенно культурой малого. Аполлоновская душа стремилась заклясть смысл завершенного посредством принципа обозримой границы; ее "табу" направлено на непосредственную наличность и близость чуждого. Что давно прошло, что невидимо, того и нет. Грек, как и римлянин, приносил жертвы богам той страны, где ему случалось быть,- все другие исчезали из его кругозора. Как греческий язык не имеет названия для пространства - мы будем постоянно подчеркивать мощную символику таких явлений языка,- так нет у грека нашего чувства ландшафта, чувства горизонта, далей, облаков, а также понятия отечества, широко раскинувшегося и охватывающего